4. Найти частное M(x) и остаток R(x) от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x): 1) P(x) = 3x³ + 4x², Q(x) = 3x + 2; 2) P(x) = x³ − 3x², Q(x) = 2x² + 5; 3) P(x) = 3x⁴ + 6x³ − 2x² − x + 7, Q(x) = x³ + 2x² − 4x; 4) P(x) = 2x⁴ + 3x³ − x, Q(x) = x² + x + 1.

Выполняем деление старших членов, последовательно вычитая полученные произведения делителя на слагаемые частного.

1. \(3x^3+4x^2=(3x+2)\left(x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}\right)+\frac{8}{9}\).

   Следовательно, \(M(x)=x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}\), \(R(x)=\frac{8}{9}\).

2. Первое слагаемое частного: \(x/2\); после вычитания остаётся \(-\frac{11}{2}x^2\). Следующее слагаемое частного \(-11/4\), остаток \(55/4\).

   \(x^3-3x^2=(2x^2+5)\left(\frac{x}{2}-\frac{11}{4}\right)+\frac{55}{4}\).

   Следовательно, \(M(x)=\frac{x}{2}-\frac{11}{4}\), \(R(x)=\frac{55}{4}\).

3. Последовательно получаем слагаемые частного \(3x\) и \(10\); остаток \(-10x^2+39x+7\).

   \(3x^4+6x^3-2x^2-x+7=(x^3+2x^2-4x)(3x+10)-10x^2+39x+7\).

   Следовательно, \(M(x)=3x+10\), \(R(x)=-10x^2+39x+7\).

4. Последовательно получаем слагаемые частного \(2x^2\), \(x\), \(-3\); остаток \(x+3\).

   \(2x^4+3x^3-x=(x^2+x+1)(2x^2+x-3)+x+3\).

   Следовательно, \(M(x)=2x^2+x-3\), \(R(x)=x+3\).