6. Выяснить, делится ли нацело многочлен P(x) на многочлен Q(x): 1) P(x) = 8x⁵ + 2x⁴ − 10x³ − 15x², Q(x) = 4x² − 5; 2) P(x) = 3x⁵ + x⁴ − 6x³ + 7x, Q(x) = 3x² + x; 3) P(x) = x⁶ − 4x⁴ + 6x, Q(x) = x² − 2x; 4) P(x) = x⁶ − 3x⁴ − x³ + 2x² + x, Q(x) = x³ + 2x² + x.

Деление даёт \(M(x)=2x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{25}{8}\), \(R(x)=-\frac{125}{8}\):

\(P(x)=(4x^2-5)\left(2x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{25}{8}\right)-\frac{125}{8}\).

Остаток не равен нулю, поэтому многочлен не делится нацело.

Деление даёт \(M(x)=x^3-2x+\frac{2}{3}\), \(R(x)=\frac{19}{3}x\):

\(P(x)=(3x^2+x)\left(x^3-2x+\frac{2}{3}\right)+\frac{19}{3}x\).

Остаток не равен нулю, поэтому многочлен не делится нацело.

Деление даёт \(M(x)=x^4+2x^3\), \(R(x)=6x\):

\(P(x)=(x^2-2x)(x^4+2x^3)+6x\).

Остаток не равен нулю, поэтому многочлен не делится нацело.

Деление даёт частное \(x^3-2x^2+1\) и нулевой остаток:

\(x^6-3x^4-x^3+2x^2+x=(x^3+2x^2+x)(x^3-2x^2+1)\).

Ответ: нацело делится только многочлен в пункте 4.