4. Найти матрицу, обратную к матрице A, если A = ((6, −2, 0), (5, −3, −1), (3, 7, 1)).

Сначала проверим, что обратная матрица существует:

\(\det A=6\bigl((-3)\cdot1-(-1)\cdot7\bigr)-(-2)\bigl(5\cdot1-(-1)\cdot3\bigr)=24+16=40\ne0.\)

Матрица алгебраических дополнений равна \(\begin{pmatrix}4&-8&44\\2&6&-48\\2&6&-8\end{pmatrix}\). Поэтому присоединённая матрица — её транспонированная, а \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\):

\(A^{-1}=\frac1{40}\begin{pmatrix}4&2&2\\-8&6&6\\44&-48&-8\end{pmatrix}.\)

Ответ: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1/10&1/20&1/20\\-1/5&3/20&3/20\\11/10&-6/5&-1/5\end{pmatrix}\).