6. Решить систему методом Гаусса: x + 2y + 3z = 5; 2x − y − z = 1; x + 3y + 4z = 6.

Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк:

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&5\\2&-1&-1&1\\1&3&4&6\end{array}\right)\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&5\\0&-5&-7&-9\\0&1&1&1\end{array}\right).\)

Из третьей строки следует \(y+z=1\). Вторая строка даёт \(5y+7z=9\). Подставляя \(y=1-z\), получаем \(5+2z=9\), значит, \(z=2\), \(y=-1\).

Из первой строки: \(x+2(-1)+3\cdot2=5\), поэтому \(x=1\).

Ответ: \((x,y,z)=(1,-1,2)\).