5. Решить систему матричным методом: 2x − y + z = 2; 3x + 2y + 2z = −2; x − 2y + z = 1.

Запишем систему в виде \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), где \(A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\3&2&2\\1&-2&1\end{pmatrix}\), \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\).

Вычтем третью строку системы из первой: получим \(x+y=1\), откуда \(y=1-x\).

Подставим в третье уравнение: \(x-2(1-x)+z=1\), поэтому \(z=3-3x\).

Подставим выражения для \(y\) и \(z\) во второе уравнение: \(3x+2(1-x)+2(3-3x)=-2\). Тогда \(-5x+8=-2\), откуда \(x=2\).

Следовательно, \(y=1-2=-1\), \(z=3-3\cdot2=-3\).

Ответ: \((x,y,z)=(2,-1,-3)\).