№4. Найти нули и промежутки знакопостоянства функции \(y=\frac{x^2+4x}{x-4}\) (вариант 2).

Разложим числитель на множители: \(y=\frac{x(x+4)}{x-4}\). Область определения: \(x\ne4\).

Нули функции находятся из уравнения \(x(x+4)=0\): \(x=-4\) и \(x=0\). Точки, в которых знак выражения может измениться: \(-4\), \(0\), \(4\). Проверяем знак на каждом промежутке:

\((-infty;-4)\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому \(y<0\).

\((-4;0)\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, поэтому \(y>0\).

\((0;4)\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому \(y<0\).

\((4;+infty)\): числитель и знаменатель положительны, поэтому \(y>0\).

Ответ: нули \(x=-4\) и \(x=0\); положительна на \((-4;0)\cup(4;+infty)\), отрицательна на \((-infty;-4)\cup(0;4)\). Точка \(x=4\) не входит в область определения.