4. Найти промежутки возрастания функции f(x) = 2x³ - 3x² + 5

Решение:

Функция возрастает там, где её производная положительна.

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 5) \).
2. Используя правила дифференцирования: \( f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 - 6x \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x = 0 \).
4. Вынесем общий множитель: \( 6x(x - 1) = 0 \).
5. Отсюда получаем две критические точки: \( 6x = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \) и \( x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = 1 \).
6. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 1) \) и \( (1; +\infty) \).
7. Определим знак производной на каждом интервале:
   • На \( (-\infty; 0) \) (например, при \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
   • На \( (0; 1) \) (например, при \( x = 0.5 \)): \( f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
   • На \( (1; +\infty) \) (например, при \( x = 2 \)): \( f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
8. Таким образом, функция возрастает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (1; +\infty) \).

Ответ: Функция возрастает на промежутках \( (-\infty; 0] \) и \( [1; +\infty) \).