4. Найти расстояние от точки A (−10; 16; 15) до плоскости \(12x+\sqrt{2}y+15=0\).

Расстояние от точки \((x_0;y_0;z_0)\) до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) равно \(\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).

В данном уравнении коэффициент при \(z\) равен нулю. Подставим координаты точки:

\(d=\frac{|12(-10)+\sqrt{2}\cdot16+15|}{\sqrt{12^2+(\sqrt{2})^2}}=\frac{|-105+16\sqrt{2}|}{\sqrt{146}}\).

Так как \(105>16\sqrt{2}\), получаем \(d=\frac{105-16\sqrt{2}}{\sqrt{146}}\).

Ответ: \(\frac{105-16\sqrt{2}}{\sqrt{146}}\).