4 Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AC — основание, AC = 12 см. BH — высота, BH = 8 см. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, AH = HC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Гипотенуза AB найдем по теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$.

$$AB = \sqrt{100} = 10$$ см.

Угол при основании — это угол A (или угол C).

1. Синус угла A:

$$\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8 \)$$

2. Косинус угла A:

$$\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6 \)$$

3. Тангенс угла A:

$$\( \text{tg } A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)$$

4. Котангенс угла A:

$$\( \text{ctg } A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75 \)$$

Ответ: $$\sin A = 0.8$$, $$\cos A = 0.6$$, $$\text{tg } A = \frac{4}{3}$$, $$\text{ctg } A = 0.75$$.