5* Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30°, ∠CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

Решение:

1. Найдём CD в треугольнике BCD:

   В прямоугольном треугольнике BCD (угол BDC = 90°), противолежащий катет CD к прилежащему катету BD — это тангенс угла CBD.

   $$\( \text{tg } \angle CBD = \frac{CD}{BD} \)$$

   $$\( \text{tg } 45° = \frac{CD}{BD} \implies 1 = \frac{CD}{BD} \implies CD = BD \)$$

2. Найдём BD и CD в треугольнике ABD:

   В прямоугольном треугольнике ABD (угол BDA = 90°), противолежащий катет BD к прилежащему катету AD — это тангенс угла A.

   $$\( \text{tg } \angle A = \frac{BD}{AD} \)$$

   $$\( \text{tg } 30° = \frac{BD}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BD}{AD} \implies AD = BD \cdot \sqrt{3} \)$$

3. Найдём BC:

   В прямоугольном треугольнике BCD, по теореме Пифагора:

   $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$.

   Подставим $$BC = 6$$ и $$CD = BD$$:

   $$6^2 = BD^2 + BD^2 \implies 36 = 2 \cdot BD^2 \implies BD^2 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ см.

4. Найдём CD:

   Так как $$CD = BD$$, то $$CD = 3\sqrt{2}$$ см.

5. Найдём AD:

   Теперь используем соотношение из пункта 2: $$AD = BD \cdot \sqrt{3}$$.

   $$AD = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$ см.

Ответ: $$AD = 3\sqrt{6}$$ см.