№ 4. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что AO = 36 см, BO = 24 см, CO = 21 см, DO = 14 см, ∠BDO = 72°. Найдите ∠CAO.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Углы AOC и BOD вертикальные, а \(\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{36}{24}=\dfrac32\) и \(\dfrac{CO}{DO}=\dfrac{21}{14}=\dfrac32\). Значит, треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Отсюда \(\angle CAO=\angle OBD\).

В треугольнике BOD по теореме синусов \(\dfrac{\sin\angle BOD}{DO}=\dfrac{\sin72^\circ}{BO}\), поэтому \(\sin\angle BOD=\dfrac{14}{24}\sin72^\circ\). Отсюда \(\angle BOD\approx33.8^\circ\). Другой вариант угла синуса невозможен, поскольку вместе с углом 72° сумма углов превысила бы 180°.

Тогда \(\angle OBD=180^\circ-72^\circ-33.8^\circ\approx74.2^\circ\).

Ответ: \(\angle CAO\approx74.2^\circ\).