№ 5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше этой высоты.

Обозначим высоту через h. Тогда отрезки гипотенузы равны h − 3 и h + 4. Для высоты, проведённой к гипотенузе, выполняется равенство квадрата высоты произведению отрезков: \(h^2=(h-3)(h+4)\).

Раскроем скобки: \(h^2=h^2+h-12\), откуда \(h=12\) см. Отрезки гипотенузы равны 9 см и 16 см, а вся гипотенуза — 25 см.

Каждый катет является средним геометрическим гипотенузы и прилежащего к нему отрезка: \(a=\sqrt{25\cdot9}=15\) см, \(b=\sqrt{25\cdot16}=20\) см.

Ответ: 15 см и 20 см.