4. Площадь прямоугольного треугольника равна 392√3 / 3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \). Пусть \( \angle A = 30° \), тогда \( \angle B = 60° \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где a и b — катеты.

Обозначим катет, прилежащий к углу 30°, как b, а катет, противолежащий углу 30°, как a.

Из свойств прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° известно, что катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, а катет, прилежащий к углу 30°, равен \( \sqrt{3} \) раз больше катета, противолежащего углу 30°.

То есть, \( b = a \sqrt{3} \) или \( a = \frac{b}{\sqrt{3}} \).

Подставим в формулу площади:

\[ \frac{392\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

\[ \frac{392\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot b \]

\[ \frac{392\sqrt{3}}{3} = \frac{b^2}{2\sqrt{3}} \]

\[ b^2 = \frac{392\sqrt{3}}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{392 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 392 \cdot 2 = 784 \]

\[ b = \sqrt{784} = 28 \]

Ответ: 28