4. Площадь ромба ABCD равна 40√2, а его острый угол A равен 45°. Точка M — середина стороны BC. Найдите площадь треугольника ABM. [Окончание условия обрезано.]

Обозначим сторону ромба через \(a\). Площадь ромба равна \(a^2\sin A\), поэтому \(a^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=40\sqrt2\), откуда \(a^2=80\).

Угол B ромба смежный с углом A, значит, \(\angle ABM=\angle ABC=135°\). Поскольку M — середина BC, \(BM=\frac a2\).

Найдём площадь треугольника: \(S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM\cdot\sin135°=\frac12\cdot a\cdot\frac a2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{a^2\sqrt2}{8}=10\sqrt2\).

Ответ: \(10\sqrt2\).