4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x-5}{x^2-4x-21}$$?

Задание 4: Определение области допустимых значений переменной

Чтобы выражение $$\frac{x-5}{x^2-4x-21}$$ имело смысл, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Шаг 1: Приравняем знаменатель к нулю и найдем корни квадратного уравнения.

• $$x^2 - 4x - 21 = 0$$

Шаг 2: Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $$x_1 + x_2 = 4$$
• Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = -21$$
• Подбираем корни: $$x_1 = 7$$, $$x_2 = -3$$.

Проверка: $$7 + (-3) = 4$$ (верно), $$7 \cdot (-3) = -21$$ (верно).

Шаг 3: Определим значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

• Знаменатель равен нулю при $$x = 7$$ и $$x = -3$$.
• Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$, кроме $$7$$ и $$-3$$.

Ответ: $$x \neq 7$$ и $$x \neq -3$$.