4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x-5}{x^2-4x-21}$$?

4. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем знаменатель к нулю и найдем корни квадратного уравнения:

   \[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]

2. Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a=1, b=-4, c=-21$$.

   \[ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100 \]

3. Найдем корни уравнения:
   • $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \times 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
   • $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \times 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
4. Вывод: Знаменатель обращается в ноль при $$x=7$$ и $$x=-3$$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$, кроме $$7$$ и $$-3$$.

Ответ: $$x
e 7$$ и $$x
e -3$$