5. Докажите тождество $$\frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot \left( \frac{3b}{9b^2-6b+1} - \frac{1}{9b^2-1} \right) = -1$$.

5. Доказательство тождества:

Будем преобразовывать левую часть тождества.

1. Упростим выражение во вторых скобках:
   • Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $$9b^2-1 = (3b-1)(3b+1)$$ и $$9b^2-6b+1 = (3b-1)^2$$. Общий знаменатель для дробей в скобках: $$(3b-1)^2(3b+1)$$.

     \[ \frac{3b}{(3b-1)^2} - \frac{1}{(3b-1)(3b+1)} = \frac{3b(3b+1) - 1(3b-1)}{(3b-1)^2(3b+1)} \]

   • Раскроем скобки в числителе:

     \[ \frac{9b^2+3b - 3b+1}{(3b-1)^2(3b+1)} = \frac{9b^2+1}{(3b-1)^2(3b+1)} \]

2. Теперь подставим это в основное выражение:

   \[ \frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot \frac{9b^2+1}{(3b-1)^2(3b+1)} \]

3. Сократим $$(9b^2+1)$$:

   \[ \frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{(3b-1)^2(3b+1)} \]

4. Заметим, что $$(3b-1)^2(3b+1) = (3b-1)(3b-1)(3b+1) = (3b-1)(9b^2-1)$$. Также заметим, что $$27b^3-3b = 3b(9b^2-1)$$.

   \[ \frac{1}{3b-1} - \frac{3b(9b^2-1)}{(3b-1)(9b^2-1)} \]

5. Сократим $$(9b^2-1)$$:

   \[ \frac{1}{3b-1} - \frac{3b}{3b-1} \]

6. Приведем к общему знаменателю $$(3b-1)$$:

   \[ \frac{1 - 3b}{3b-1} \]

7. Вынесем $$-1$$ из числителя:

   \[ \frac{-(3b-1)}{3b-1} = -1 \]

Левая часть тождества равна $$-1$$, что и требовалось доказать.