4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \( \frac{x-8}{3x^2 - 10x + 3} \)?

Решение:

Выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \).

1. Найдём дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
2. \( \sqrt{D} = 8 \).
3. Найдём корни:
• \( x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
4. Знаменатель обращается в ноль при \( x = 3 \) и \( x = \frac{1}{3} \).

Ответ: Выражение имеет смысл при \( x \neq 3 \) и \( x \neq \frac{1}{3} \).