5. Докажите тождество: \( \frac{a}{a^2-25} - \frac{a-20}{a^2-10a+25} = \frac{a-8}{(a-5)^2} \).

Решение:

Приведём левую часть тождества к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители: \( a^2 - 25 = (a-5)(a+5) \) и \( a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2 \).
2. Общий знаменатель: \( (a-5)^2(a+5) \).
3. Приведём дроби к общему знаменателю:
• \( \frac{a}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-5a}{(a-5)^2(a+5)} \)
• \( \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{(a-20)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 + 5a - 20a - 100}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 - 15a - 100}{(a-5)^2(a+5)} \)
4. Выполним вычитание дробей:
• \( \frac{a^2-5a}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{a^2 - 15a - 100}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-5a - (a^2 - 15a - 100)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-5a - a^2 + 15a + 100}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{10a + 100}{(a-5)^2(a+5)} \)
• \( = \frac{10(a + 10)}{(a-5)^2(a+5)} \)
5. Ошибка в условии задания. Правая часть выражения: \( \frac{a-8}{(a-5)^2} \)
6. Проверим с другим условием: \( \frac{a}{(a-5)(a+5)} - \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{a(a-5) - (a-20)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-5a - (a^2+5a-20a-100)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-5a - a^2+15a+100}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{10a+100}{(a-5)^2(a+5)} \)
7. Если правая часть \( \frac{10a+100}{(a-5)^2(a+5)} \), то тождество верно.
8. Проверим, если правой частью является \( \frac{a-8}{(a-5)^2} \), то требуется доказать, что \( \frac{10a+100}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a-8}{(a-5)^2} \)
9. \( 10a+100 = (a-8)(a+5) \)
10. \( 10a+100 = a^2+5a-8a-40 \)
11. \( 10a+100 = a^2-3a-40 \)
12. \( a^2 - 13a - 140 = 0 \)
13. Это не является тождеством для всех \( a \).
14. Предположим, что в условии имелось в виду \( \frac{a}{(a-5)(a+5)} - \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{10a+100}{(a-5)^2(a+5)} \).

Ответ: Тождество в данном виде неверно. Приведённые преобразования левой части равны \( \frac{10a+100}{(a-5)^2(a+5)} \).