5. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Постройте график функции y = (x² - x - 12) / (x - 4).

Решение:

1. Обозначим скорость пассажирского поезда как \( v_{п} \) км/ч, а скорость товарного поезда как \( v_{т} \) км/ч.
2. По условию, \( v_{т} = v_{п} - 20 \).
3. Время в пути для пассажирского поезда: \( t_{п} = \frac{120}{v_{п}} \) часов.
4. Время в пути для товарного поезда: \( t_{т} = \frac{120}{v_{т}} = \frac{120}{v_{п} - 20} \) часов.
5. По условию, пассажирский поезд проходит расстояние на 1 час быстрее, чем товарный, значит \( t_{п} = t_{т} - 1 \).
6. Подставим выражения для времени: \( \frac{120}{v_{п}} = \frac{120}{v_{п} - 20} - 1 \).
7. Приведём к общему знаменателю: \( 120(v_{п} - 20) = 120v_{п} - v_{п}(v_{п} - 20) \).
8. Раскроем скобки: \( 120v_{п} - 2400 = 120v_{п} - v_{п}^2 + 20v_{п} \).
9. Упростим уравнение: \( -2400 = -v_{п}^2 + 20v_{п} \) или \( v_{п}^2 - 20v_{п} - 2400 = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-20)^2 - 4(1)(-2400) = 400 + 9600 = 10000 \). \( \sqrt{D} = 100 \).
11. Корни: \( v_{п1} = \frac{20 + 100}{2} = 60 \) км/ч, \( v_{п2} = \frac{20 - 100}{2} = -40 \) км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_{п} = 60 \) км/ч.
12. Тогда скорость товарного поезда \( v_{т} = 60 - 20 = 40 \) км/ч.
13. Теперь построим график функции \( y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4} \).
14. Разложим числитель на множители: \( x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \).
15. Сократим дробь (при \( x \neq 4 \)): \( y = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4} = x + 3 \).
16. Таким образом, график функции — это прямая \( y = x + 3 \) с выколотой точкой при \( x = 4 \).
17. При \( x = 4 \), \( y = 4 + 3 = 7 \). Точка \( (4, 7) \) не принадлежит графику.

Ответ: Скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч. График функции — прямая \( y = x + 3 \) с выколотой точкой \( (4, 7) \).