4. Прямая a и параллельная ей плоскость α не проходят через точку M. Докажите, что через точку M проходит прямая, параллельная прямой a и плоскости α, и притом только одна.

Через точку M можно провести ровно одну прямую l, параллельную прямой a: она имеет направление a.

Поскольку a параллельна плоскости α, направление прямой l параллельно плоскости α. Прямая l не лежит в α, так как проходит через M, а M не принадлежит α. Поэтому l не пересекает α и параллельна ей.

Любая прямая через M, параллельная a, должна иметь то же направление, что и a, а через заданную точку в этом направлении проходит единственная прямая. Значит, требуемая прямая существует и единственна.

Доказано.