5. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, а точки H и M лежат на отрезках CD и BC соответственно так, что MC = 2 BM и DH = HC. а) Постройте точку пересечения прямой HM с прямой BD. б) Докажите, что прямые HM и AC не пересекаются. в) Постройте плоскость, проходящую через точки H и M параллельно прямой AC. г) Постройте плоскость, проходящую через точку M параллельно плоскости ABD, и определите, в каком отношении эта плоскость делит площадь треугольника ADC.

а) Так как H — середина CD, а BM:MC = 1:2, в треугольнике BCD прямая HM пересекает прямую BD в точке P на продолжении BD за D. При этом D — середина BP, то есть DP = DB.

Построение: продолжим BD за D и отложим на продолжении отрезок DP, равный DB. Полученная точка P лежит на прямой HM.

б) Прямая HM лежит в плоскости BCD. Прямая AC пересекает плоскость BCD только в C, поскольку A не принадлежит этой плоскости. Точка C не лежит на HM: H и M лежат соответственно на CD и CB, а прямая HM не совпадает ни с CD, ни с CB. Поэтому HM и AC не пересекаются.

в) Через H проведём прямую, параллельную AC. Она и HM задают искомую плоскость: эти прямые пересекаются в H и имеют разные направления. На рисунке плоскость показана параллелограммом; его сторона через H параллельна AC.

г) Обозначим через N и E точки пересечения искомой плоскости с AC и CD. Так как плоскость параллельна ABD, её сечение в треугольнике ADC — отрезок NE, параллельный AD. Из подобия треугольников CNE и CAD следует, что CN/CA = CE/CD = CM/CB = 2/3.

Следовательно, площадь треугольника CNE составляет (2/3)² = 4/9 площади ADC. Оставшаяся часть треугольника ADC имеет площадь 1 − 4/9 = 5/9 от его площади. Значит, эти две части относятся как 4:5.

Ответ: а) точка P на продолжении BD за D, где DP = DB; б) HM и AC не пересекаются; в) искомая плоскость задаётся HM и прямой через H, параллельной AC; г) площади частей относятся как 4:5.