4. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 7.

1. Треугольники ABM и ADM равны по первому признаку равенства треугольников (AB=AD, AM - общая, ∠BAM = ∠DAM).
2. Следовательно, BM = DM и ∠AMB = ∠AMD = 90°. Значит, AD является и медианой, и высотой.
3. Так как AD - медиана, то M - середина BC. Так как AD - высота, то AD ⊥ BC.
4. В треугольнике ABC, AD является биссектрисой, медианой и высотой. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с AB = AC.
5. Так как AB = 7, то AC = 7.