6. В треугольнике АВС BM – медиана и BH – высота. Известно, что АC=136, HC=34 и ∠ACB=49°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ВНС:

\(
\angle HBC = 90° - \angle C = 90° - 49° = 41° \)

\(
\text{BH} =
\text{HC} \cdot \tan(\angle C) = 34 \cdot \tan(49°) \approx 34 \cdot 1.150 = 39.1 \)

\(
\text{BC} = \frac{\text{HC}}{\cos(\angle C)} = \frac{34}{\cos(49°)} \approx \frac{34}{0.656} \approx 51.8 \)

2. В треугольнике АВС:

М — середина АС, так как ВМ — медиана. АС = 136, следовательно, АМ = МС = 136 / 2 = 68.

3. В треугольнике ВНС, НС = 34.

4. В прямоугольном треугольнике ВНС:

\(
\text{BC}^2 =
\text{BH}^2 +
\text{HC}^2 \)

\(
\text{BC}^2 \approx (39.1)^2 + (34)^2 \approx 1528.81 + 1156 = 2684.81 \)

\(
\text{BC} \approx \sqrt{2684.81} \approx 51.8 \)

5. По теореме косинусов для треугольника ВМС:

\(
\text{BC}^2 =
\text{BM}^2 +
\text{MC}^2 - 2 \cdot
\text{BM} \cdot
\text{MC} \cdot \cos(\angle BMC) \)

Так как ВМ — медиана, она делит АС пополам. АМ = МС = 136/2 = 68.

Нам нужно найти \( \angle AMB \). \( \angle AMB = 180° - \angle BMC \).

В треугольнике ВНС, \( \angle C = 49° \), НС = 34. \( \text{BH} = \text{HC} \tan(49°) = 34 \tan(49°) \).

В треугольнике АВН: \(
\text{AH} =
\text{AC} -
\text{HC} = 136 - 34 = 102 \)

\(
\text{AB}^2 =
\text{AH}^2 +
\text{BH}^2 = 102^2 + (34 \tan(49°))^2 \approx 10404 + (34 \cdot 1.150)^2 \approx 10404 + (39.1)^2 \approx 10404 + 1528.81 = 11932.81 \)

\(
\text{AB} \approx \sqrt{11932.81} \approx 109.2 \)

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику АВМ, чтобы найти \( \angle AMB \). Нам нужно знать длину ВМ.

Длина медианы ВМ находится по формуле:

\(
\text{BM}^2 = \frac{2 \cdot \text{AB}^2 + 2 \cdot
\text{BC}^2 -
\text{AC}^2}{4} \)

\(
\text{BM}^2 \approx \frac{2 x 11932.81 + 2 x 2684.81 - 136^2}{4} \approx \frac{23865.62 + 5369.62 - 18496}{4} \approx \frac{10739.24}{4} \approx 2684.81 \)

\(
\text{BM} \approx \sqrt{2684.81} \approx 51.8 \)

Теперь используем теорему косинусов в треугольнике АВМ:

\(
\text{AB}^2 =
\text{AM}^2 +
\text{BM}^2 - 2 \cdot
\text{AM} \cdot
\text{BM} \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
11932.81 \approx 68^2 + 2684.81 - 2 \cdot 68 \cdot 51.8 \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
11932.81 \approx 4624 + 2684.81 - 7044.8 \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
11932.81 \approx 7308.81 - 7044.8 \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
11932.81 - 7308.81 \approx - 7044.8 \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
4624 \approx - 7044.8 \cdot \cos(\angle AMB) \)

\(
\cos(\angle AMB) \approx \frac{4624}{-7044.8} \approx -0.656 \)

\(
\angle AMB \approx \arccos(-0.656) \approx 131.04° \)

Проверка: В треугольнике ВСМ:

\(
\text{BC}^2 =
\text{MC}^2 +
\text{BM}^2 - 2 \cdot
\text{MC} \cdot
\text{BM} \cdot \cos(\angle BMC) \)

\(
2684.81 \approx 68^2 + 2684.81 - 2 \cdot 68 \cdot 51.8 \cdot \cos(\angle BMC) \)

\(
2684.81 \approx 4624 + 2684.81 - 7044.8 \cdot \cos(\angle BMC) \)

\(
0 \approx 4624 - 7044.8 \cdot \cos(\angle BMC) \)

\(
\cos(\angle BMC) \approx \frac{4624}{7044.8} \approx 0.656 \)

\(
\angle BMC \approx \arccos(0.656) \approx 49° \)

\(
\angle AMB = 180° - \angle BMC \approx 180° - 49° = 131° \)

Ответ: 131