4. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ДВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Ми № соответственно, АС = 18, MN = 8. Площадь треугольника АВС равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Так как прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: угол B общий, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN || AC и секущей AB).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношению соответствующих сторон).

• Коэффициент подобия \( k = \frac{MN}{AC} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \).
• Отношение площадей: \( \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} \).

Площадь треугольника ABC равна 81.

• \( S_{MBN} = S_{ABC} \cdot \frac{16}{81} = 81 \cdot \frac{16}{81} = 16 \).

Ответ: Площадь треугольника MBN равна 16.