5. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 6,5. Найдите АС, если ВС = 12.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно, AB = 2R.

• Диаметр \( AB = 2 \cdot 6.5 \text{ см} = 13 \text{ см} \).

Поскольку AB — диаметр, угол ACB, опирающийся на диаметр, является прямым. То есть, треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

• \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
• \( AC^2 + (12 \text{ см})^2 = (13 \text{ см})^2 \).
• \( AC^2 + 144 \text{ см}^2 = 169 \text{ см}^2 \).
• \( AC^2 = 169 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2 \).
• \( AC = \sqrt{25 \text{ см}^2} = 5 \text{ см} \).

Ответ: Длина стороны AC равна 5 см.