4. Прямая, параллельная стороне ДС треугольника ДВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и № соответственно, AC = 18, MN = 8. Площадь треугольника АВС равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Поскольку прямая MN параллельна стороне AC, треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Отношение длин сторон подобных треугольников равно:

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон:

\[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left( \frac{MN}{AC} \right)^2 = \left( \frac{4}{9} \right)^2 = \frac{16}{81} \]

Теперь найдем площадь треугольника MBN:

\[ S_{MBN} = S_{ABC} × \frac{16}{81} \]

Известно, что площадь треугольника ABC равна 81.

\[ S_{MBN} = 81 × \frac{16}{81} = 16 \]

Ответ: Площадь треугольника MBN равна 16.