4. Прямые а, в, с пересечены секущей к, а || B, ∠ 1 = 56°, ∠ 2 = 124°. Докажите, что в || с.

Решение:

Дано: Прямые \( a, b, c \) пересечены секущей \( k \). \( a † || b \), \( \angle 1 = 56^{\circ} \), \( \angle 2 = 124^{\circ} \).

Доказать: \( b † || c \).

Доказательство:

1. Рассмотрим пересечение прямых \( a \) и \( k \).

\( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \) (обозначим его \( \angle 3 \)), являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( a \) и \( c \) секущей \( k \).

\( \angle 3 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \).

Так как \( \angle 1 = 56^{\circ} \) и \( \angle 3 = 56^{\circ} \), то \( \angle 1 = \angle 3 \). Следовательно, прямая \( a \) параллельна прямой \( c \) (по признаку параллельности прямых: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).

2. Так как \( a † || b \) (по условию) и \( a † || c \) (доказано), то по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что \( b † || c \).

Альтернативное доказательство (через соответственные углы):

\( \angle 1 = 56^{\circ} \). Угол, соответствующий \( \angle 1 \) при пересечении прямой \( c \) и секущей \( k \), назовём \( \angle 4 \).

\( \angle 2 = 124^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 2 \), назовём \( \angle 5 \). \( \angle 5 = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \). Угол \( \angle 5 \) и \( \angle 1 \) являются накрест лежащими при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( k \).

Теперь рассмотрим углы, образованные прямой \( c \) и секущей \( k \). Угол \( \angle 2 = 124^{\circ} \). Смежный с ним угол \( \angle 6 = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \). Этот угол \( \angle 6 \) и \( \angle 1 \) являются накрест лежащими.

Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle 6 \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( a \) и \( c \) секущей \( k \). Так как \( \angle 1 = 56^{\circ} \) и \( \angle 6 = 56^{\circ} \), то \( a † || c \).

Поскольку \( a † || b \) (по условию) и \( a † || c \) (доказано), то \( b † || c \).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что \( b † || c \).