№ 4. Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. На отрезках AO и CO отложили равные отрезки AK и CE. Докажите, что четырёхугольник BKDE — параллелограмм.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = CO и BO = DO.

Точки K и E лежат на AO и CO соответственно, причём AK = CE. Из равенства AO = CO следует OK = OE: из равных отрезков вычтены равные отрезки.

Точки K, O, E лежат на одной прямой, а B, O, D — на другой. Кроме того, O — середина KE и середина BD. Значит, диагонали четырёхугольника BKDE взаимно делятся пополам.

Если диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, BKDE — параллелограмм.