4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость, на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин быстрее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим переменные.
   Скорость теплохода: \( v_т = x \) км/ч.
   Скорость ракеты: \( v_р = x + 50 \) км/ч.
   Расстояние: \( S = 210 \) км.
   Время в пути: \( t = \frac{S}{v} \).
2. Шаг 2: Выразим время в пути для каждого судна.
   Время теплохода: \( t_т = \frac{210}{x} \) ч.
   Время ракеты: \( t_р = \frac{210}{x+50} \) ч.
3. Шаг 3: Составим уравнение, учитывая разницу во времени (7 ч 30 мин = 7.5 ч).
   \( t_т - t_р = 7.5 \)
   \( \frac{210}{x} - \frac{210}{x+50} = 7.5 \)
4. Шаг 4: Решим уравнение.
   Умножим обе части на \( x(x+50) \):
   \( 210(x+50) - 210x = 7.5x(x+50) \)
   \( 210x + 10500 - 210x = 7.5x^2 + 375x \)
   \( 10500 = 7.5x^2 + 375x \)
   Разделим на 7.5:
   \( 1400 = x^2 + 50x \)
   \( x^2 + 50x - 1400 = 0 \)
5. Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или по теореме Виета).
   \( D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4(1)(-1400) = 2500 + 5600 = 8100 \)
   \( √{D} = 90 \)
   \( x_1 = \frac{-50 + 90}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
   \( x_2 = \frac{-50 - 90}{2} = \frac{-140}{2} = -70 \)
6. Шаг 6: Выберем подходящий корень. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 20 \) км/ч — скорость теплохода.
7. Шаг 7: Найдем скорость ракеты.
   \( v_р = x + 50 = 20 + 50 = 70 \) км/ч.

Ответ: Скорость «Ракеты» — 70 км/ч.