4. Расстояние между двумя городами — 100 км. Автомобиль ехал туда со скоростью \(x\) км/ч, а обратно — со скоростью на 10 км/ч больше. На весь путь ушло 4,5 часа. Найдите скорости автомобиля.

Пусть скорость автомобиля по пути туда равна \(x\) км/ч, тогда скорость обратно — \(x+10\) км/ч. Время в пути туда и обратно соответственно равно \(\dfrac{100}{x}\) и \(\dfrac{100}{x+10}\) часа.

Составим уравнение: \(\dfrac{100}{x}+\dfrac{100}{x+10}=4.5\), где \(x>0\).

Умножим на \(2x(x+10)\): \(200(x+10)+200x=9x(x+10)\).

После упрощения получаем \(9x^2-310x-2000=0\).

По формуле корней: \(x=\dfrac{310\pm\sqrt{310^2+4\cdot9\cdot2000}}{18}=\dfrac{155\pm5\sqrt{2041}}{9}\). Отрицательный корень не подходит, поскольку скорость положительна.

Скорость туда: \(\dfrac{155+5\sqrt{2041}}{9}\approx42.95\) км/ч. Скорость обратно на 10 км/ч больше: \(\dfrac{245+5\sqrt{2041}}{9}\approx52.95\) км/ч.

Ответ: туда — примерно 42,95 км/ч, обратно — примерно 52,95 км/ч.