4. Разложите многочлен на множители: a) 1/81 y⁴ - x⁴.

Решение:

Используем формулу разности квадратов a² - b² = (a-b)(a+b) дважды.

1. Первое разложение:

   \[ \frac{1}{81}y^4 - x^4 = \left(\frac{1}{9}y^2\right)^2 - (x^2)^2 = \left(\frac{1}{9}y^2 - x^2\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right) \]

2. Второе разложение (первого множителя):

   Множитель \frac{1}{9}y^2 - x^2 также является разностью квадратов:

   \[ \frac{1}{9}y^2 - x^2 = \left(\frac{1}{3}y\right)^2 - x^2 = \left(\frac{1}{3}y - x\right)\left(\frac{1}{3}y + x\right) \]

3. Итоговое разложение:

   \[ \left(\frac{1}{3}y - x\right)\left(\frac{1}{3}y + x\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right) \]

Ответ: \left(\frac{1}{3}y - x\right)\left(\frac{1}{3}y + x\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right)