4. Разложите на множители: a) 16-\frac{1}{81}y^4; б) a+a²-b-b².

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. 4.а) Разложение на множители:
   • Заметим, что $$16 = 4^2$$ и $$\frac{1}{81}y^4 = (\frac{1}{9}y^2)^2$$. Применим формулу разности квадратов $$ (x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)) $$: $$ 16 - \frac{1}{81}y^4 = 4^2 - (\frac{1}{9}y^2)^2 = (4 - \frac{1}{9}y^2)(4 + \frac{1}{9}y^2) $$
   • Первый множитель $$ (4 - \frac{1}{9}y^2) $$ снова можно разложить по формуле разности квадратов, так как $$ 4 = 2^2 $$ и $$ \frac{1}{9}y^2 = (\frac{1}{3}y)^2 $$: $$ (2^2 - (\frac{1}{3}y)^2)(4 + \frac{1}{9}y^2) = (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^2) $$
2. 4.б) Разложение на множители:
   • Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых: $$ (a+a^2) - (b+b^2) $$
   • Вынесем общий множитель из каждой группы: $$ a(1+a) - b(1+b) $$
   • Попробуем другую группировку: $$ (a-b) + (a^2-b^2) $$
   • Применим формулу разности квадратов $$ (a^2-b^2 = (a-b)(a+b)) $$: $$ (a-b) + (a-b)(a+b) $$
   • Вынесем общий множитель $$ (a-b) $$ за скобки: $$ (a-b)[1 + (a+b)] = (a-b)(1+a+b) $$

Ответ: а) $$ (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^2) $$; б) $$ (a-b)(1+a+b) $$