4. Разложите на множители: a) 16-\frac{1}{81}y⁴ б) а+a²-b-b²

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) 16-\frac{1}{81}y⁴

1. Представим \( 16 \) как \( 4^{2} \) и \( \frac{1}{81}y^{4} \) как \( (\frac{1}{9}y^{2})^{2} \). Тогда выражение становится разностью квадратов: \( 4^{2} - (\frac{1}{9}y^{2})^{2} \).
2. Применим формулу разности квадратов \( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \): \( (4 - \frac{1}{9}y^{2})(4 + \frac{1}{9}y^{2}) \).
3. Заметим, что \( 4 - \frac{1}{9}y^{2} \) также является разностью квадратов: \( 2^{2} - (\frac{1}{3}y)^{2} \), что раскладывается как \( (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y) \).
4. Таким образом, окончательное разложение: \( (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^{2}) \).

б) а+a²-b-b²

1. Сгруппируем слагаемые: \( (a^{2} + a) - (b^{2} + b) \).
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( a(a+1) - b(b+1) \).
3. Дальнейшее разложение этой группы слагаемых на множители затруднительно без дополнительных условий или преобразований, которые не следуют напрямую из данного выражения. Однако, если перегруппировать иначе: \( (a^{2}-b^{2}) + (a-b) \).
4. Применим формулу разности квадратов \( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \) к первой группе: \( (a-b)(a+b) + (a-b) \).
5. Теперь вынесем общий множитель \( (a-b) \) за скобки: \( (a-b)((a+b) + 1) \).
6. Упростим выражение в скобках: \( (a-b)(a+b+1) \).

Ответ: а) \( (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^{2}) \) б) \( (a-b)(a+b+1) \)