5. Докажите, что выражение c² + 2c + 12 может принимать лишь положительные значения.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выделим полный квадрат из первых двух членов выражения: c² + 2c.
   Чтобы получить полный квадрат (c + 1)², нам нужно добавить 1 (так как (c+1)² = c² + 2c + 1).
2. Шаг 2: Перепишем исходное выражение, добавив и вычтя 1:
   c² + 2c + 12 = (c² + 2c + 1) - 1 + 12
3. Шаг 3: Свернем полный квадрат и упростим:
   (c + 1)² + 11
4. Шаг 4: Анализируем полученное выражение (c + 1)² + 11.
   Квадрат любого действительного числа (c + 1)² всегда неотрицателен (больше или равен нулю).
   Следовательно, (c + 1)² ≥ 0.
   Добавляя 11 к неотрицательному числу, мы получаем число, которое всегда будет больше или равно 11.
   (c + 1)² + 11 ≥ 11.
   Таким образом, выражение всегда принимает положительные значения (больше или равные 11).

Ответ: Выражение c² + 2c + 12 можно представить как (c + 1)² + 11, что всегда больше или равно 11, следовательно, оно принимает лишь положительные значения.