4. Разложите на множители: а) 2x²y + 4xy²; б) 100a - a³.

Решение:

а) Разложим на множители выражение
2x²y + 4xy²

Сначала найдем общий множитель для всех членов выражения. Общий множитель — это самое большое число и степени переменных, которые есть в каждом члене.

• Числа: Наибольший общий делитель 2 и 4 — это 2.
• Переменная x: В первом члене
  x², во втором
  x. Наименьшая степень —
  x.
• Переменная y: В первом члене
  y, во втором
  y². Наименьшая степень —
  y.

Общий множитель: 2xy.

Теперь вынесем его за скобки:

\[ 2x^2y + 4xy^2 = 2xy( \frac{2x^2y}{2xy} + \frac{4xy^2}{2xy} ) \]
\[ 2x^2y + 4xy^2 = 2xy( x + 2y ) \]

б) Разложим на множители выражение
100a - a³

Здесь тоже найдем общий множитель. Очевидно, что это переменная a.

Вынесем a за скобки:

\[ 100a - a^3 = a( \frac{100a}{a} - \frac{a^3}{a} ) \]
\[ 100a - a^3 = a( 100 - a^2 ) \]

Теперь мы видим, что в скобках у нас разность квадратов:
100 — это
10², а
a² — это
a². Разность квадратов раскладывается по формуле
(m² - n²) = (m - n)(m + n). Здесь
m = 10 и
n = a.

\[ a( 100 - a^2 ) = a(10 - a)(10 + a) \]

Ответ: а) 2xy(x + 2y); б) a(10 - a)(10 + a)