4. Разложите на множители: а) $$3x^3y^3 - 3x^4y^2 + 9x^2y$$; б) $$2x - x^2 + y^2 + 2y$$.

Решение:

а) $$3x^3y^3 - 3x^4y^2 + 9x^2y$$

Найдем общий множитель для всех членов выражения. Общий множитель здесь $$3x^2y$$. Вынесем его за скобки:

• $$3x^2y(xy^2 - xy + 3)$$

б) $$2x - x^2 + y^2 + 2y$$

Перегруппируем члены для удобства:

• $$(y^2 + 2y) - (x^2 - 2x)$$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

• $$(y^2 + 2y + 1) - 1 - (x^2 - 2x + 1) + 1$$
• $$(y + 1)^2 - (x - 1)^2$$

Теперь это разность квадратов. Применим формулу $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$:

• $$((y + 1) - (x - 1))((y + 1) + (x - 1))$$
• $$(y + 1 - x + 1)(y + 1 + x - 1)$$
• $$(y - x + 2)(y + x)$$

Ответ: а) $$3x^2y(xy^2 - xy + 3)$$; б) $$(y - x + 2)(y + x)$$