4. Разложите на множители: a) 3x²y³-3xy²+9x²y; б) 2x-x²+y²+2y.

Решение:

а) Разложим на множители \( 3x^2y^3 - 3xy^2 + 9x^2y \):

1. Найдем общий множитель. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов (3, -3, 9) равен 3. Наименьшая степень \( x \) — \( x^1 \). Наименьшая степень \( y \) — \( y^1 \). Общий множитель: \( 3xy \).
2. Вынесем общий множитель за скобки: \( 3xy(xy^2 - y + 3x) \).

б) Разложим на множители \( 2x - x^2 + y^2 + 2y \):

1. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты: \( (y^2 + 2y) - (x^2 - 2x) \).
2. Дополним выражения в скобках до полных квадратов, добавив и вычтя соответствующие числа: \( (y^2 + 2y + 1) - 1 - (x^2 - 2x + 1) + 1 \).
3. Свернем полные квадраты: \( (y+1)^2 - 1 - (x-1)^2 + 1 \).
4. Упростим: \( (y+1)^2 - (x-1)^2 \).
5. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = (y+1) \) и \( b = (x-1) \): \( ((y+1) - (x-1))((y+1) + (x-1)) \).
6. Упростим выражения в скобках: \( (y+1-x+1)(y+1+x-1) = (y-x+2)(y+x) \).

Ответ: а) \( 3xy(xy^2 - y + 3x) \). б) \( (y-x+2)(y+x) \).