4. Решить иррациональное уравнение 8-3x = √x+2

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \).
2. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (8-3x)^2 = (\sqrt{x+2})^2 \).
3. Раскроем скобки: \( 64 - 48x + 9x^2 = x+2 \).
4. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( 9x^2 - 48x - x + 64 - 2 = 0 \Rightarrow 9x^2 - 49x + 62 = 0 \).
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 62 = 2401 - 2232 = 169 \).
6. Найдем корни:
   • \( x_1 = \frac{-(-49) + \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = \frac{49 + 13}{18} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9} \)
   • \( x_2 = \frac{-(-49) - \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = \frac{49 - 13}{18} = \frac{36}{18} = 2 \)
7. Проверим корни по ОДЗ (\( x \ge -2 \)) и условию \( 8-3x \ge 0 \) (так как квадратный корень не может быть отрицательным):
   • Для \( x_1 = \frac{31}{9} \): \( 8 - 3 \cdot \frac{31}{9} = 8 - \frac{31}{3} = \frac{24-31}{3} = -\frac{7}{3} < 0 \). Этот корень не подходит.
   • Для \( x_2 = 2 \): \( 8 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2 \ge 0 \). Этот корень подходит.

Ответ: \( x = 2 \).