8. Решить уравнение |7x-12|-|7x-1|=1

Решение:

Рассмотрим три случая, исходя из значений выражений под модулями.

1. Случай 1: \( 7x-12 \ge 0 \) и \( 7x-1 \ge 0 \). Это означает \( x \ge \frac{12}{7} \) и \( x \ge \frac{1}{7} \). Объединяя, получаем \( x \ge \frac{12}{7} \). В этом случае уравнение принимает вид: \( (7x-12) - (7x-1) = 1 \). \( 7x - 12 - 7x + 1 = 1 \Rightarrow -11 = 1 \). Решений нет.
2. Случай 2: \( 7x-12 < 0 \) и \( 7x-1 \ge 0 \). Это означает \( x < \frac{12}{7} \) и \( x \ge \frac{1}{7} \). Объединяя, получаем \( \frac{1}{7} \le x < \frac{12}{7} \). В этом случае уравнение принимает вид: \( -(7x-12) - (7x-1) = 1 \). \( -7x + 12 - 7x + 1 = 1 \Rightarrow -14x + 13 = 1 \Rightarrow -14x = 1 - 13 \Rightarrow -14x = -12 \Rightarrow x = \frac{-12}{-14} = \frac{6}{7} \). Проверим, попадает ли \( x = \frac{6}{7} \) в интервал \( \frac{1}{7} \le x < \frac{12}{7} \). Так как \( \frac{1}{7} \le \frac{6}{7} < \frac{12}{7} \) (верно), то \( x = \frac{6}{7} \) — решение.
3. Случай 3: \( 7x-12 < 0 \) и \( 7x-1 < 0 \). Это означает \( x < \frac{12}{7} \) и \( x < \frac{1}{7} \). Объединяя, получаем \( x < \frac{1}{7} \). В этом случае уравнение принимает вид: \( -(7x-12) - (-(7x-1)) = 1 \). \( -7x + 12 + 7x - 1 = 1 \Rightarrow 11 = 1 \). Решений нет.

Ответ: \( x = \frac{6}{7} \).