4. Решить иррациональные уравнения: а) \(\sqrt{1-x}=x+1\); б) \(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+6}=1\); в) \(2x+3+\sqrt{8x^2+20x+9}=0\).

а) Для существования корней и равенства необходимо \(x\le1\) и \(x+1\ge0\), то есть \(-1\le x\le1\). Возводим в квадрат: \(1-x=(x+1)^2\), откуда \(x^2+3x=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=-3\). Условию области допустимых значений удовлетворяет только \(x=0\); проверка в исходном уравнении верна.

б) Переносим корень: \(\sqrt{2x+5}=1+\sqrt{x+6}\). Область определения: \(x\ge-\frac52\). После возведения в квадрат получаем \(x-2=2\sqrt{x+6}\), поэтому дополнительно необходимо \(x\ge2\). Ещё раз возводим в квадрат: \((x-2)^2=4(x+6)\), откуда \(x^2-8x-20=0\), корни \(10\) и \(-2\). Ограничению \(x\ge2\) удовлетворяет только \(10\). Проверка: \(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\).

в) Переносим слагаемые: \(\sqrt{8x^2+20x+9}=-2x-3\). Правая часть должна быть неотрицательной, значит, \(x\le-\frac32\). Возводим в квадрат: \(8x^2+20x+9=(2x+3)^2\), откуда \(4x(x+2)=0\). Кандидаты: \(x=0\) и \(x=-2\); условию \(x\le-\frac32\) удовлетворяет только \(-2\). Проверка: \(-4+3+\sqrt{1}=0\).

Ответ: а) \(0\); б) \(10\); в) \(-2\).