Контрольная работа по теме «Степенная функция». Вариант № 5. 1. Изобразить эскиз графика функции \(y=x^{-8}\); перечислить её основные свойства. Используясь свойствами функции сравнить выражения: а) \((0,3)^{-8}\) и 1; б) \((5\sqrt2)^{-8}\) и \((2\sqrt5)^{-8}\).

Функция задана формулой \(y=x^{-8}=\frac{1}{x^8}\).

Эскиз графика:

Основные свойства: область определения \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\); область значений \((0;+\infty)\); функция чётная, так как \((-x)^{-8}=x^{-8}\); убывает на \(( -\infty;0)\) и возрастает на \((0;+\infty)\). Ось \(Oy\) (\(x=0\)) — вертикальная асимптота, ось \(Ox\) (\(y=0\)) — горизонтальная асимптота.

а) Так как \(0<0,3<1\), то \((0,3)^8<1\), а значит, при переходе к обратным величинам \((0,3)^{-8}>1\).

б) Сравним основания: \((5\sqrt2)^2=50\), \((2\sqrt5)^2=20\), поэтому \(5\sqrt2>2\sqrt5>0\). Функция \(x^{-8}\) убывает при \(x>0\), следовательно, \((5\sqrt2)^{-8}<(2\sqrt5)^{-8}\).

Ответ: а) \((0,3)^{-8}>1\); б) \((5\sqrt2)^{-8}<(2\sqrt5)^{-8}\).