4) Решить логарифмическое уравнение: a) log₃(x² - 8x + 16) = 2

Решение:

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

1. Применим определение логарифма к нашему уравнению: \( 3^2 = x^2 - 8x + 16 \).
2. Вычислим \( 3^2 \): \( 9 = x^2 - 8x + 16 \).
3. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 8x + 16 - 9 = 0 \) \( x^2 - 8x + 7 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Используем теорему Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно 7, а сумма равна 8. Это числа 1 и 7.
5. Проверим, что эти корни принадлежат области определения. Аргумент логарифма \( x^2 - 8x + 16 \) должен быть больше нуля. \( x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 \).
6. Для \( x=1 \): \( (1-4)^2 = (-3)^2 = 9 > 0 \).
7. Для \( x=7 \): \( (7-4)^2 = 3^2 = 9 > 0 \).
8. Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 7