6) Решить неравенства (для профиля): б) log₂x + 6 > 5log₂x

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. \( x > 0 \).

Теперь решим само неравенство.

1. Перенесём все члены с логарифмом в одну часть: \( 6 > 5\log_2 x - \log_2 x \).
2. Упростим выражение: \( 6 > 4\log_2 x \).
3. Разделим обе части на 4: \( \frac{6}{4} > \log_2 x \) \( 1.5 > \log_2 x \).
4. Запишем \( 1.5 \) как \( \log_2 2^{1.5} \). \( 2^{1.5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \).
5. Неравенство примет вид: \( \log_2 \sqrt{8} > \log_2 x \).
6. Поскольку основание логарифма \( 2 \) больше 1, знак неравенства сохраняется при переходе от логарифма к его аргументу: \( \sqrt{8} > x \).
7. Упростим \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \).
8. Итак, \( x < 2\sqrt{2} \).
9. Теперь объединим полученное решение с ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x < 2\sqrt{2} \). Общее решение — \( 0 < x < 2\sqrt{2} \).

Ответ: (0; 2√2)