4. Решить уравнение: \(\left(2x-\frac{1}{x}\right)^2+2x+\frac{1}{x}-4=0\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\). Раскроем квадрат и умножим уравнение на \(x^2\):

\(4x^2-4+\frac{1}{x^2}+2x+\frac{1}{x}-4=0\),

\(4x^4+2x^3-8x^2+x+1=0\).

Разложим многочлен на множители:

\((x-1)(2x-1)(4x^2+8x+2)=0\).

Из первых двух множителей получаем \(x=1\) и \(x=\frac12\). Для третьего:

\(4x^2+8x+2=0\), поэтому \(x^2+2x+\frac12=0\) и \(x=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}\).

Все найденные значения не равны нулю и допустимы.

Ответ: \(x=1,\;\frac12,\;-1+\frac{\sqrt2}{2},\;-1-\frac{\sqrt2}{2}\).