4. Решите неравенство $$2^{2x} - 6 \cdot 2^x - 16 > 0$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем неравенство, представив \( 2^{2x} \) как \( (2^x)^2 \).
   \( (2^x)^2 - 6 · 2^x - 16 > 0 \)
2. Шаг 2: Введем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x \) всегда больше нуля, то \( y > 0 \).
   Получим квадратное неравенство: \( y^2 - 6y - 16 > 0 \)
3. Шаг 3: Решим квадратное неравенство \( y^2 - 6y - 16 > 0 \). Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( y^2 - 6y - 16 = 0 \).
   \( D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100 \)
   \( \sqrt{D} = 10 \)
   \( y_1 = \frac{-(-6) + 10}{2(1)} = \frac{16}{2} = 8 \)
   \( y_2 = \frac{-(-6) - 10}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2 \)
4. Шаг 4: Так как ветви параболы \( y^2 - 6y - 16 \) направлены вверх, неравенство \( y^2 - 6y - 16 > 0 \) выполняется при \( y < -2 \) или \( y > 8 \).
5. Шаг 5: Учтем условие \( y > 0 \) (из замены \( y = 2^x \)).
   Получаем, что \( y > 8 \).
6. Шаг 6: Вернемся к исходной переменной \( x \).
   \( 2^x > 8 \)
   \( 2^x > 2^3 \)
7. Шаг 7: Так как основание степени \( 2 > 1 \), показательная функция возрастает. Следовательно, при сравнении степеней сохраняется знак неравенства.
   \( x > 3 \)

Ответ: \( x ∈ (3, +∞) \)