7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁, B₁C₁D₁, в котором А А₁=6, а AB=BC=3. Вычислите косинус угла между векторами \( \vec{BA}_1 \) и \( \vec{BC}_1 \).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Зададим координаты вершин прямоугольного параллелепипеда. Пусть вершина A имеет координаты (0, 0, 0).
   Тогда: \( A = (0, 0, 0) \).
   \( B = (3, 0, 0) \) (поскольку \( AB=3 \)).
   \( C = (3, 3, 0) \) (поскольку \( BC=3 \) и угол ABC прямой).
   \( D = (0, 3, 0) \).
   \( A_1 = (0, 0, 6) \) (поскольку \( AA_1=6 \) и параллелепипед прямоугольный).
   \( B_1 = (3, 0, 6) \).
   \( C_1 = (3, 3, 6) \).
   \( D_1 = (0, 3, 6) \).
2. Шаг 2: Найдем векторы \( \vec{BA}_1 \) и \( \vec{BC}_1 \).
   \( \vec{BA}_1 = A_1 - B = (0 - 3, 0 - 0, 6 - 0) = (-3, 0, 6) \).
   \( \vec{BC}_1 = C_1 - B = (3 - 3, 3 - 0, 6 - 0) = (0, 3, 6) \).
3. Шаг 3: Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{BA}_1 · \vec{BC}_1 \).
   \( \vec{BA}_1 · \vec{BC}_1 = (-3)(0) + (0)(3) + (6)(6) = 0 + 0 + 36 = 36 \).
4. Шаг 4: Найдем модули векторов \( |\vec{BA}_1| \) и \( |\vec{BC}_1| \).
   \( |\vec{BA}_1| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 0 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 · 5} = 3√{5} \).
   \( |\vec{BC}_1| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3√{5} \).
5. Шаг 5: Вычислим косинус угла между векторами по формуле:
   \( \cos θ = \frac{\vec{BA}_1 · \vec{BC}_1}{|\vec{BA}_1| · |\vec{BC}_1|} \).
   \( \cos θ = \frac{36}{(3√{5}) · (3√{5})} = \frac{36}{9 · 5} = \frac{36}{45} \).
6. Шаг 6: Сократим дробь.
   \( \cos θ = \frac{36 ÷ 9}{45 ÷ 9} = \frac{4}{5} \).

Ответ: \( \frac{4}{5} \)