4. Решите неравенство: a) 5x+1 / x-2 < 0; б) 3x-1 / x+8 ≥ 2.

Решение:

1. а) Решение неравенства \( \frac{5x+1}{x-2} < 0 \):
   1. Метод интервалов. Корни числителя: \( 5x + 1 = 0 \) → \( x = -1/5 \). Корень знаменателя: \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \).
   2. Отметим корни на числовой прямой: \( -1/5 \) и \( 2 \).
   3. Определим знаки дроби на интервалах:
   • \( (-\infty; -1/5) \): возьмем \( x = -1 \) → \( \frac{-5+1}{-1-2} = \frac{-4}{-3} > 0 \).
   • \( (-1/5; 2) \): возьмем \( x = 0 \) → \( \frac{0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} < 0 \).
   • \( (2; +\infty) \): возьмем \( x = 3 \) → \( \frac{15+1}{3-2} = \frac{16}{1} > 0 \).
   • Так как неравенство \( < 0 \), выбираем интервал \( (-1/5; 2) \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 2 \).
2. б) Решение неравенства \( \frac{3x-1}{x+8} \geq 2 \):
   1. Перенесём 2 в левую часть: \( \frac{3x-1}{x+8} - 2 \geq 0 \).
   2. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3x-1 - 2(x+8)}{x+8} \geq 0 \) → \( \frac{3x-1 - 2x - 16}{x+8} \geq 0 \) → \( \frac{x-17}{x+8} \geq 0 \).
   3. Корни числителя: \( x - 17 = 0 \) → \( x = 17 \). Корень знаменателя: \( x + 8 = 0 \) → \( x = -8 \).
   4. Отметим корни на числовой прямой: \( -8 \) и \( 17 \). \( x = 17 \) входит в решение (числитель равен нулю), \( x = -8 \) не входит (знаменатель равен нулю).
   5. Определим знаки дроби на интервалах:
   • \( (-\infty; -8) \): возьмем \( x = -9 \) → \( \frac{-9-17}{-9+8} = \frac{-26}{-1} > 0 \).
   • \( (-8; 17) \): возьмем \( x = 0 \) → \( \frac{0-17}{0+8} = \frac{-17}{8} < 0 \).
   • \( (17; +\infty) \): возьмем \( x = 18 \) → \( \frac{18-17}{18+8} = \frac{1}{26} > 0 \).
   • Так как неравенство \( \geq 0 \), выбираем интервалы \( (-\infty; -8) \) и \( [17; +\infty) \).

Ответ: а) \( (-1/5; 2) \); б) \( (-\infty; -8) \cup [17; +\infty) \).