Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Найдите область определения функции: a) y = \(\sqrt{6x - 2x²}\); б) y = \(\sqrt{x² - 4x - 12}\) / (2x - 18); в) y =…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. а) Область определения функции \( y = \sqrt{6x - 2x^2} \):
    1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 6x - 2x^2 \geq 0 \).
    2. Вынесем общий множитель: \( 2x(3 - x) \geq 0 \).
    3. Корни: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
    4. Ветви параболы \( -2x^2 + 6x \) направлены вниз. Неравенство \( \geq 0 \) выполняется между корнями.
  2. б) Область определения функции \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}{2x - 18} \):
    1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2 - 4x - 12 \geq 0 \).
    2. Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \). Корни: \( x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6 \).
    3. Так как ветви параболы \( x^2 - 4x - 12 \) направлены вверх, \( x^2 - 4x - 12 \geq 0 \) при \( x \leq -2 \) или \( x \geq 6 \).
    4. Знаменатель не должен быть равен нулю: \( 2x - 18 \neq 0 \) → \( 2x \neq 18 \) → \( x \neq 9 \).
    5. Объединяя условия, получаем: \( x \leq -2 \) или \( 6 \leq x < 9 \) или \( x > 9 \).
  3. в) Область определения функции \( y = \sqrt{16 - x^2} + \sqrt{7 - 5x} \):
    1. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
      • \( 16 - x^2 \geq 0 \) → \( x^2 \leq 16 \) → \( -4 \leq x \leq 4 \).
      • \( 7 - 5x \geq 0 \) → \( 7 \geq 5x \) → \( x \leq 7/5 \).
    2. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно найти пересечение интервалов: \( [-4; 4] \) и \( (-\infty; 7/5] \).
    3. Пересечение: \( [-4; 7/5] \).

Ответ: а) \( [0; 3] \); б) \( (-\infty; -2] \cup [6; 9) \cup (9; +\infty) \); в) \( [-4; 7/5] \).