4. Решите неравенство log₅(2x + 3) + 2log₅x ≤ 3log₅(2x + 3) · log₅x.

Краткое пояснение:

• Данное неравенство является дробно-рациональным относительно логарифмов.
• Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), затем преобразуем неравенство к виду, удобному для решения.

Пошаговое решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2x + 3 > 0 → x > -3/2 \)
• \( x > 0 \)
• Объединяя условия, получаем: \( x > 0 \).
2. Преобразуем неравенство:
• Перенесем все члены в одну сторону: \( ³og_5(2x + 3) + 2³og_5x - 3³og_5(2x + 3) · ³og_5x ≤ 0 \).
• Сгруппируем: \( ³og_5(2x + 3)(1 - 3³og_5x) + 2³og_5x ≤ 0 \).
3. Введем замену: Пусть \( a = ³og_5(2x + 3) \) и \( b = ³og_5x \).
4. Неравенство примет вид: \( a + 2b ≤ 3ab \).
5. \( 3ab - a - 2b ≥ 0 \).
6. Разложим на множители: \( (3a - 2)(b - 1/3) ≥ 0 \).
7. Подставим обратно: \( (3³og_5(2x + 3) - 2)(³og_5x - 1/3) ≥ 0 \).
8. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( 3³og_5(2x + 3) - 2 ≥ 0 \) и \( ³og_5x - 1/3 ≥ 0 \).
• \( 3³og_5(2x + 3) ≥ 2 → ³og_5(2x + 3) ≥ 2/3 → 2x + 3 ≥ 5^{2/3} \).
• \( 2x ≥ 5^{2/3} - 3 → x ≥ (5^{2/3} - 3)/2 \).
• \( ³og_5x ≥ 1/3 → x ≥ 5^{1/3} \).
• Так как \( 5^{1/3} ≥ (5^{2/3} - 3)/2 \), то \( x ≥ 5^{1/3} \).
• Случай 2: \( 3³og_5(2x + 3) - 2 ≤ 0 \) и \( ³og_5x - 1/3 ≤ 0 \).
• \( 3³og_5(2x + 3) ≤ 2 → ³og_5(2x + 3) ≤ 2/3 → 2x + 3 ≤ 5^{2/3} \).
• \( 2x ≤ 5^{2/3} - 3 → x ≤ (5^{2/3} - 3)/2 \).
• \( ³og_5x ≤ 1/3 → x ≤ 5^{1/3} \).
• Так как \( x > 0 \) по ОДЗ, то \( 0 < x ≤ (5^{2/3} - 3)/2 \).

Ответ: (0; (5^{2/3} - 3)/2] ∪ [5^{1/3}; +∞)