5. Основание пирамиды – равнобокая трапеция с острым углом 60°. Диагональ трапеции равна 4√3 см и перпендикулярна её боковой стороне. Все боковые рёбра пирамиды равны. Найдите отношение объёмов пирамиды и конуса, описанного около пирамиды.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для нахождения отношения объемов пирамиды и конуса, нам нужно найти объемы каждого из них.
Объем пирамиды: \( V_{пир} = 1/3 * S_{осн} * H \).
Объем конуса: \( V_{кон} = 1/3 * π * R^2 * H \).
Отношение объемов: \( V_{пир} / V_{кон} = (1/3 * S_{осн} * H) / (1/3 * π * R^2 * H) = S_{осн} / (π * R^2) \).
Необходимо найти площадь основания трапеции \( S_{осн} \) и радиус описанной окружности \( R \).

Пусть \( ∠ DAB = 60^° \).
Диагональ \( AC = 4√3 \).
Диагональ \( AC ⊥ BC \).
В равнобокой трапеции \( BC = AD \).
Рассмотрим △ ABC: ∠ ACB = 90^° - ∠ BAC.
Угол между диагоналями и боковой стороной: \( ∠ ACB = 90^° - 60^° = 30^° \).
В △ ABC: \( AC = BC · ³in(∠ ABC) \) и \( AC = AB · ³os(∠ BAC) \).
Из ∠ ACB = 30^°, в △ ABC, \( AB = AC / ³os(60^°) = 4√3 / (1/2) = 8√3 \).
\( BC = AC / ³in(60^°) = 4√3 / (√3/2) = 8 \).
Опустим высоту \( BH \) из \( B \) на \( AC \). \( BH = BC · ³in(30^°) = 8 · (1/2) = 4 \).
Площадь △ ABC: \( S_{△ ABC} = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 4√3 · 4 = 8√3 \).
Площадь трапеции \( S_{осн} = 2 · S_{△ ABC} = 2 · 8√3 = 16√3 \).
Радиус описанной окружности (R):

Для равнобокой трапеции \( R = ³a / (2 ³in ∠ DAB) \), где \( a \) - большая боковая сторона, \( ∠ DAB \) - угол при основании.
\( R = AB / (2 ³in 60^°) = 8√3 / (2 · √3/2) = 8√3 / √3 = 8 \).

По условию, все боковые ребра равны. Это значит, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.
Высота пирамиды не требуется для отношения объемов.

Ответ: √3 / (4π)